Графическое решение злп. Решение задач линейного программирования графическим методом

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

×

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Симплекс метод

Примеры решения ЗЛП симплекс методом

Пример 1. Решить следующую задачу линейного программирования:

Правая часть ограничений системы уравнений имеет вид:

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор x при . min (40:6, 28:2)=20/3 соответствует строке 1. Из базиса выходит вектор x 3 . Сделаем исключение Гаусса для столбца x 2 , учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 1. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 2, 3, 4 со строкой 1, умноженной на -1/3, 1/6, 1/2, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор x 1 . Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при . min(44/3:11/3, 62/3:5/3)=4 соответствует строке 2. Из базиса выходит вектор x 4 . Сделаем исключение Гаусса для столбца x 1 , учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 2. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 1, 3, 4 со строкой 2, умноженной на 1/11, -5/11, 9/11, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Текущий опорный план является оптимальным, так как в строках 4 под переменными нет отрицательных элементов.

Решение можно записать так: .

Значение целевой функции в данной точке: F (X )=.

Пример 2. Найти максимум функции

Р е ш е н и е.

Базисные векторы x 4 , x 3 , следовательно, все элементы в столбцах x 4 , x 3 , ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца x 4 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на 4. Обнулим все элементы столбца x 3 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 1.

Симплекс таблица примет вид:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательный элемент (-11), следовательно в базис входит вектор x 2 . Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при . Все следовательно целевая функция неограничена сверху. Т.е. задача линейного программирования неразрешима.

Примеры решения ЗЛП методом искусственного базиса

Пример 1. Найти максимум функции

Р е ш е н и е. Так как количество базисных векторов должен быть 3, то добавляем искусственное переменное, а в целевую функцию добавляем это переменное, умноженное на −M, где M, очень большое число:

Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:

Базисные векторы следовательно, все элементы в столбцах ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 3, умноженной на -1.

Симплекс таблица примет вид:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-5), следовательно в базис входит вектор Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при соответствует строке 3. Из базиса выходит вектор Сделаем исключение Гаусса для столбца учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 3. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строку 5 со строкой 3, умноженной на 1. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при соответствует строке 1. Из базиса выходит вектор x 2 . Сделаем исключение Гаусса для столбца x 1 , учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 1. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 2, 3, 4 со строкой 1, умноженной на 3/2, -1/10, 3/2, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-13/2), следовательно в базис входит вектор x 3 . Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при соответствует строке 3. Из базиса выходит вектор x 5 . Сделаем исключение Гаусса для столбца x 3 , учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 3. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 1, 2, 4 со строкой 3, умноженной на 5/3, 25/9, 65/9, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Текущий опорный план является оптимальным, так как в строках 4−5 под переменными нет отрицательных элементов.

Решение исходной задачи можно записать так:

Пример 2. Найти оптимальный план задачи линейного программирования:

Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:

Базисные векторы x 4 , x 5 , x 6 , следовательно, все элементы в столбцах x 4 , x 5 , x 6 , ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца x 4 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 4 со строкой 1, умноженной на -1. Обнулим все элементы столбца x 5 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 2, умноженной на -1. Обнулим все элементы столбца x 6 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 3, умноженной на -1.

Симплекс таблица примет вид:

В строке 5 элементы, соответствующие переменным x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 неотрицательны, а число находящийся в пересечении данной строки и столбца x 0 отрицательнo. Тогда исходная задача не имеет опорного плана. Следовательно она неразрешима.

Наиболее простым и наглядным методом решения задачи линейного программирования (ЗЛП) является графический метод. Он основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется при решении ЗЛП с двумя неизвестными:

Будем рассматривать решение этой задачи на плоскости. Каждое неравенство системы функциональных ограничений геометрически определяет полуплоскость с граничной прямой а п х, + + a j2 х 2 = b n i = 1, т. Условия неотрицательности определяют полуплоскости с граничными прямыми х { = 0, х 2 = 0 соответственно. Если система совместна, то полуплоскости, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек; координаты каждой из этих точек являются решением данной системы. Совокупность этих точек называют многоугольником решений. Он может быть точкой, отрезком, лучом, ограниченным и неограниченным многоугольником.

Геометрически ЗЛП представляет собой отыскание такой угловой точки многоугольника решений, координаты которой доставляют максимальное (минимальное) значение линейной целевой функции, причем допустимыми решениями являются все точки многоугольника решений.

Линейное уравнение описывает множество точек, лежащих на одной прямой. Линейное неравенство описывает некоторую область на плоскости.

Определим, какую часть плоскости описывает неравенство 2х { + Зх 2 12.

Во-первых, построим прямую 2х, + Зх 2 = 12. Она проходит через точки (6; 0) и (0; 4). Во-вторых, определим, какая полуплоскость удовлетворяет неравенству. Для этого выбираем любую точку на графике, не принадлежащую прямой, и подставляем ее координаты в неравенство. Если неравенство будет выполняться, то данная точка является допустимым решением и полуплоскость, содержащая точку, удовлетворяет неравенству. Для подстановки в неравенство удобно использовать начало координат. Подставим х { = х 2 = 0 в неравенство 2х, + Зх 2 12. Получим 2 0 + 3 0

Аналогично графически можно изобразить все ограничения задачи линейного программирования.

Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью допустимых решений (ОДР) или областью определения.

Необходимо помнить, что область допустимых решений удовлетворяет условиям неотрицательности (Xj > 0, j = 1, п). Координаты любой точки, принадлежащей области определения, являются допустимым решением задачи.

Для нахождения экстремального значения целевой функции при графическом решении ЗЛП используют вектор-градиент, координаты которого являются частными производными целевой функции:

Этот вектор показывает направление наискорейшего изменения целевой функции. Прямая c [ x l + с 2 х 2 = f(x 0), перпендикулярная вектору-градиенту, является линией уровня целевой функции (рис. 2.2.2). В любой точке линии уровня целевая функция принимает одно и то же значение. Приравняем целевую функцию постоянной величине а. Меняя значение а, получим семейство параллельных прямых, каждая из которых является линией уровня целевой функции.

Рис. 2.2.2.

Важное свойство линии уровня линейной функции состоит в том, что при параллельном смещении линии в одну сторону уровень только возрастает, а при смещении в д р у г у ю сторону - только убывает.

Графический метод решения ЗЛП состоит из четырех этапов:

• 1. Строится область допустимых решений (ОДР) ЗЛП.
• 2. Строится вектор-градиент целевой функции (ЦФ) с началом в точке х 0 (0; 0): V = (с, с 2).
• 3. Линия уровня CjXj + с 2 х 2 = а (а - постоянная величина) - прямая, перпендикулярная вектору-градиенту V, - передвигается в направлении вектора-градиента в случае максимизации целевой функции f(x v х 2) до тех пор, пока не покинет пределов ОДР. При минимизации /(*, х 2) линия уровня перемещается в направлении, противоположном вектору-градиенту. Крайняя точка (или точки) ОДР при этом движении и является точкой максимума (минимума) f(x p jc 2).

Если прямая, соответствующая линии уровня, при своем движении не покидает ОДР, то минимума (максимума) функции f(x р х 2) не существует.

Если линия уровня целевой функции параллельна функциональному ограничению задачи, на котором достигается оптимальное значение ЦФ, то оптимальное значение ЦФ будет достигаться в любой точке этого ограничения, лежащей между двумя оптимальными угловыми точками, и, соответственно, любая из этих точек является оптимальным решением ЗЛП.

4. Определяются координаты точки максимума (минимума). Для этого достаточно решить систему уравнений прямых, дающих в пересечении точку максимума (минимума). Значение f(x { , х 2), найденное в полученной точке, является максимальным (минимальным) значением целевой функции.

Возможные ситуации графического решения ЗЛП представлены в табл. 2.2.1.

Таблица 2.2.1

Пример 2.2.1. Планирование выпуска продукции пошивочного предприятия (задача о костюмах).

Намечается выпуск двух видов костюмов - мужских и женских. На женский костюм требуется 1 м шерсти, 2 м лавсана и 1 человекодень трудозатрат; на мужской - 3,5 м шерсти, 0,5 м лавсана и 1 человекодень трудозатрат. Всего имеется 350 м шерсти, 240 м лавсана и 150 человекодней трудозатрат.

Требуется определить, сколько костюмов каждого вида необходимо сшить, чтобы обеспечить максимальную прибыль, если прибыль от реализации женского костюма составляет 10 ден. ед., а от мужского - 20 ден. ед. При этом следует иметь в виду, что необходимо сшить не менее 60 мужских костюмов.

Экономико-математическая модель задачи

Переменные : х, - число женских костюмов; х 2 - число мужских костюмов.

Целевая функция :

Ограничения :

Первое ограничение (по шерсти) имеет вид х { + 3,5х 2 х { + 3,5х 2 = 350 проходит через точки (350; 0) и (0; 100). Второе ограничение (по лавсану) имеет вид 2х { + 0,5х 2 2х х + 0,5х 2 = 240 проходит через точки (120; 0) и (0; 480). Третье ограничение (по труду) имеет вид х у +х 2 150. Прямая х { + х 2 = 150 проходит через точки (150; 0) и (0; 150). Четвертое ограничение (по количеству мужских костюмов) имеет вид х 2 > 60. Решением этого неравенства является полуплоскость, лежащая выше прямой х 2 = 60.

В результате пересечения построенных четырех полуплоскостей получаем многоугольник, который и является областью допустимых решений нашей задачи. Любая точка этого многоугольника удовлетворяет всем четырем функциональным неравенствам, а для любой точки вне этого многоугольника хотя бы одно неравенство будет нарушено.

На рис. 2.2.3 затенена область допустимых решений (ОДР). Для определения направления движения к оптимуму построим вектор- градиент V, координаты которого являются частными производными целевой функции:

Чтобы построить такой вектор, нужно соединить точку (10; 20) с началом координат. Для удобства можно строить вектор, пропорциональный вектору V. Так, на рис. 2.2.3 изображен вектор (30; 60).

Затем построим линию уровня 10xj + 20х 2 = а. Приравняем целевую функцию постоянной величине а. Меняя значение а , получим семейство параллельных прямых, каждая из которых является линией уровня целевой функции:

Далее будем передвигать линию уровня до ее выхода из ОДР. В нашем случае (при максимизации целевой функции) движение линии уровня будем осуществлять в направлении градиента. В крайней угловой точке достигается максимум целевой функции. Для нахождения координат этой точки решаем систему из двух уравнений прямых, дающих в пересечении точку максимума:

Получаем При этих значениях

Ответ. Для получения максимальной прибыли (2300) необходимо сшить 70 женских (xj 1 = 70) и 80 мужских (х 2 = 80) костюмов.

Рис. 2.2.3. Точка (70; 80) - оптимальное решение задачи Пример 2.2.2. Найти максимум и минимум f(X ):

при ограничениях

Решение. При решении данного примера на максимум возникает ситуация, когда линия уровня Зх, + 3х 2 = а параллельна первому ограничению: х х +х 2 8. Целевая функция достигает максимального значения в двух точках: А (3; 5) и В (6; 2) - и принимает на отрезке АВ одно и то же значение, равное 24:

При решении данного примера на минимум целевой функции линию уровня 3xj + 3х 2 - а следует двигать в направлении, обратном направлению вектора-градиента. Целевая функция достигает минимального значения в точке D (0,5; 0):

Графическое решение примера приведено на рис. 2.2.4.

Рис. 2.2.4.

Ответ: max /(2Q = 24; min /(X) = 1,5. Пример 2.2.3. Найти максимум /(X):

при ограничениях

Решение. Задача не имеет решения, так как ЦФ не ограничена сверху на ОДР (рис. 2.2.5).

Рассмотрим сначала простейший случай, когда в ЗЛП включены ровно две переменные:

Каждое из неравенств (a)-(b) системы ограничений задачи (3.8) геометрически определяет полуплоскость соответственно с граничными прямыми , Х 1 =0 и Х 2 =0. Каждая из граничных прямых делит плоскость х 1 Ох 2 на две полуплоскости. Все решения исходного неравенства лежат в одной из образованных полуплоскостей (все точки полуплоскости) и, следовательно, при подстановке координат любой ее точки в соответствующее неравенство обращает его в верное тождество. С учетом этого и определяется та полуплоскость, в которой лежат решения неравенства, т.е. путем выбора любой точки из какой-либо полуплоскости и подстановки ее координат в соответствующее неравенство. Если неравенство выполняется для данной точки, то оно выполняется и для любой другой точки из этой же полуплоскости. В противном случае решения неравенства лежат в другой полуплоскости.

В том случае, если система неравенств (a)-(b) совместна, то область её решений есть множество точек, принадлежащих всем указанным полуплоскостям. Так как множество точек пересечения данных полуплоскостей выпуклое, то область допустимых решений задачи (3.8) является выпуклое множество, которое называется многоугольником решений (введённый ранее термин “многогранник решений” обычно употребляется, если n 3). Стороны этого многоугольника лежат на прямых, уравнения которых получаются из исходной системы ограничений заменой знаков неравенств на знаки точных равенств.

Таким образом, исходная ЗЛП состоит в нахождении такой точки многоугольника решений, в которой целевая функция F принимает максимальное (минимальное) значение.

Эта точка существует тогда, когда многоугольник решений не пуст и на нём целевая функция ограничена сверху. При указанных условиях в одной из вершин многоугольника решений целевая функция принимает максимальное значение. Для определения данной вершины строят линию уровня L: c 1 x 1 +c 2 x 2 =h (где h – некоторая постоянная), перпендикулярную вектору-градиенту и проходящую через многоугольник решений, и передвигают её параллельно вдоль вектора-градиента до тех пор, пока она не пройдёт через последнюю её общую точку пересечения с многоугольником решений (при построении вектора-градиента откладывают точку (с 1 ; с 2) в плоскости х 1 Ох 2 и проводят к ней из начала координат направленный отрезок). Координаты указанной точки и определяют оптимальный план данной задачи.

Суммируя все выше изложенное, приведем алгоритм графического метода решения ЗЛП.

Алгоритм графического метода решения ЗЛП

1. Построить многоугольник решений, задаваемый системой ограничений исходной ЗЛП.

2. Если построенный многоугольник решений – пустое множество, то исходная ЗЛП решений не имеет. В противном случае построить вектор-градиент и провести произвольную линию уровня L, перемещая которую при решении задачи на максимум в направлении вектора (или в обратном направлении для задачи на минимум) определить крайнюю точку многоугольника решений, где и достигается максимум (минимум) целевой функции задачи.

3. Вычислить координаты найденной оптимальной точки , решив систему уравнений двух граничных прямых, пересекающихся в ней.

4. Подстановкой найденного оптимального решения в целевую функцию задачи вычислить оптимальное ее значение, т.е.: .

При графическом построении множества допустимых решений ЗЛП (многоугольника решений) возможны следующие ситуации.

Пример 6.1.

Решение:

Задача линейного программирования задана в стандартной форме и имеет два проектных параметра, следовательно

Воз-можно ее решение геометрическим методом.

1 этап: ( ОДР ).

Рассмотрим первое ограничение, заменим знак неравенства знаком равенства и выразим переменную х2 через х1 :

.

Аналогично определяем точки для остальных ограничений системы и строим по ним прямые, соответствующие каждому неравенству (рис. 1). Прямые пронумеруем согласно принятой ранее схеме.

2 этап: .

Определим полуплоскости – решения каждого из неравенств.

Рассмотрим первое неравенство системы ограничений задачи. Возьмем какую-либо точку (контрольную точку), не принадлежащую соответствующей данному неравенству прямой, например, точку (0; 0). Подставим ее в рассматриваемое неравенство:

При подстановке координат контрольной точки неравенство остается справедливым. Следовательно, множество точек, принадлежащих данной прямой (т.к. неравенство не строгое), а также расположенных ниже ее, будут являться решениями рассматриваемого неравенства (пометим на графике (рис. 1) найденную полуплоскость двумя стрелками направленными вниз рядом с прямой I ) .

Аналогично определяем решения других неравенств и соответственно помечаем их графике. В результате график примет следующий вид:

3 этап: .

Найденные полуплоскости (решения каждого из неравенств системы ограничений) при пересечении образуют многоугольник ABCDEO , который и является ОДР рассматриваемой задачи.

Рис. 1. Область допустимых решений задачи

4 этап:
Вектор-градиент показывает направление максимизации целевой функции . Определим его координаты: координаты начальной его точки (точки приложения) – (0; 0), координаты второй точки:

Построим данный вектор на графике (рис. 2).

5 этап: .

Рассмотрим целевую функцию данной задачи:

.

Зададим ей какое-либо значение, к примеру, . Выразим переменную х2 через х1 :

.

Для построения прямой по данному уравнению зададим две произвольные точки, к примеру:

Построим прямую соответствующую целевой функции (рис. 2).

Рис. 2. Построение целевой функции F(X) и вектора-градиента С

6 этап: определение максимума целевой функ-ции .

Перемещая прямую F (X ) параллельно са-мой себе по направлению вектора-градиента, определяем крайнюю точку (точки) ОДР. Согласно графику (рис. 3), такой точкой является точка С ­– точка пересечения прямых I и II .

Рис. 3. Определение точки максимума целевой функции F(X)

Определим координаты точки С, с этой целью, решим сле-дующую систему линейных уравнений:

Подставим найденные координаты в целевую функцию и найдем ее оптимальное (максимальное) значение:

Ответ: при заданных ограничениях макси-мальное значение целевой функции F (Х )=24, которое достигается в точке С, координаты которой х1 =6, х2 =4.

Пример 6.2. Решить задачу линейного про- граммирования геометрическим методом:

Решение:

Этапы 1-3 аналогичны соответствующим этапам предыдущей задачи.
4 этап: построение вектора-градиента.
Построение вектора-градиента осуществляется аналогично, как и в предыдущей задаче. Построим данный вектор на графике (рис. 4). Отметим также на данном графике стрелкой направление, обратное вектору-градиенту, – направление минимизации целевой функцииF (X ).

5 этап: построение прямой целевой функ-ции .

Построение прямой целевой функции F (X ) осуществляется аналогично, как и в предыдущей задаче (результат построения приведен на рис. 4).

Рис. 4. Построение целевой функции F(x) и вектора-градиента С

6 этап: определение оптимума целевой функ-ции .

Перемещая прямую F (x ) параллельно са-мой себе в направлении, обратном вектору-градиенту, опреде-ляем крайнюю точку (точки) ОДР. Согласно графику (рис. 5), та- кой точкой является точка О с координатами (0; 0).

Рис. 5. Определение точки минимума целевой функции

Подставляя координаты точки минимума в целевую функ-цию, определяем ее оптимальное (минимальное) значение, которое равно 0.
Ответ: при заданных ограничениях минимальное значение целевой функции F (Х )=0, которое достигается в точке О (0; 0).

Пример 6.3. Решить следующую задачу ли-нейного программирования геометрическим методом:

Решение:

Рассматриваемая задача линейного программирования задана в канонической форме, выделим в качестве базисных переменные x 1 и x 2 .

Составим расширенную матрицу и выделим с помощью метода Жордана- Гаусса базисные переменныеx 1 и x 2 .

Умножим (поэлементно) первую строку на –3 и сложим со вто-рой:
.

Умножим вторую строку на :

.

Сложим вторую с первой строкой:

.

В результате система ограничений примет следующий вид:

Выразим базисные переменные через свободные:

Выразим целевую функцию также через свободные перемен-ные, для этого подставим полученные значения базисных переменных в целевую функцию:

Запишем полученную задачу линейного программирования:

Так как переменные x 1 и x 2 неотрицательные, то полученную систему ограничений можно записать в следующем виде:

Тогда исходную задачу можно записать в виде следующей эк- вивалентной ей стандартной задаче линейного программирования:

Данная задача имеет два проектных параметра, следовательно, возможно ее решение геометрическим мето-дом.

1 этап: построение прямых, ограничивающих область допустимых решений ( ОДР ).

Рассмотрим систему ограничений задачи линейного програм-мирования (для удобства пронумеруем неравенства):

Построим прямые, соответствующие каждому неравенству (рис. 6). Прямые пронумеруем согласно принятой ранее схе-ме.

2 этап: определение решения каждого из нера-венств системы ограничений .

С помощью контрольных точек определим полуплоскости – решения каждого из неравенств, и пометим их на графике (рис. 6) с помощью стрелок.

3 этап: определение ОДР задачи линейного про- граммирования .

Найденные полуплоскости (т.е. решения каждого из неравенств системы ограничений) не имеют общего пересечения (так решения неравенства I противоречат в целом остальным неравенствам системы ограничений), следовательно, система ограничений не совместна и задача линейного программирования в силу этого не имеет решения.

Рис. 6. Фрагмент MathCAD-документа:

построение области допустимых решений задачи

Ответ: рассматриваемая задача линейного программирования не имеет решения в силу несовместности системы ограничений.

Если после подстановки координат контрольной точки в неравенство его смысл нарушается, то решением данного неравенства является полуплоскость не содержащая данную точку (т.е. расположенная по другую сторону прямой).

Направление, обратное вектору-градиенту, соответствует направлению минимизации целевой функции.

Если вам понадобится решить задачу линейного программирования с помощью симплекс-таблиц, то наш онлайн сервис вам окажет большую помощь. Симплекс-метод подразумевает последовательный перебор всех вершин области допустимых значений с целью нахождения той вершины, где функция принимает экстремальное значение. На первом этапе находится какое-нибудь решение, которое улучшается на каждом последующем шаге. Такое решение называется базисным. Приведем последовательность действий при решении задачи линейного программирования симплекс-методом:

Первый шаг. В составленной таблице перво-наперво необходимо просмотреть столбец со свободными членами. Если в нем имеются отрицательные элементы, то необходимо осуществить переход ко второму шагу, есле же нет, то к пятому.

Второй шаг. На втором шаге необходимо определиться, какую переменную изключить из базиса, а какую включить, для того, что бы произвести перерасчет симплекс-таблицы. Для этого просматриваем столбец со свободными членами и находим в нем отрицательный элемент. Строка с отрицательным элементом будет называться ведущей. В ней находим максимальный по модулю отрицательный элемент, соответсвующий ему столбец - ведомый. Если же среди свободных членов есть отрицательные значения, а в соответсвующей строке нет, то такая таблица не будет иметь решений. Переменая в ведущей строке, находящаяся в столбце свободных членов исключается из базиса, а переменная соответсвующая ведущему столцу включается в базис.

Таблица 1.

Третий шаг. На третьем шаге пересчитываем всю симплекс-таблицу по специальным формулам, эти формулы можно увидеть, воспользовавшись .

Четвертый шаг. Если после перерасчета в столбце свободных членов остались отрицаетельные элементы, то переходим к первому шагу, если таких нет, то к пятому.

Пятый шаг. Если Вы дошли до пятого шага, значит нашли решение, которое допустимо. Однако, это не значит, что оно оптимально. Оптимальным оно будет только в том случае, если положительны все элементы в F-строке. Если же это не так, то необходимо улучшить решение, для чего находим для следующего перерасчета ведущие строку и столбец по следующему алгоритму. Первоначально, находим минимальное отрицательное число в строке F, исключая значение функции. Столбец с этим числом и будем ведущим. Для того, что бы найти ведущую строку, находим отношение соответсвующего свободного члена и элемента из ведущего столбца, при условии, что они положительны. Минимальное отношение позволит определить ведущую строку. Вновь пересчитываем таблицу по формулам, т.е. переходим к шагу 3.